<T->
          Matemtica e realidade
          8 ano
            
          Gelson Iezzi
          Osvaldo Dolce
          Antonio Machado
          
          Impresso Braille em 
          8 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          6 edio -- 2009, 
          So Paulo,  
          Editora Atual.

          Quarta Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro 
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
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          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,  
          -- 2013 --
<P>
          (C) Gelson Iezzi
          Osvaldo Dolce
          Antonio Machado, 2009.

          ISBN 978-85-357-1067-0
  
          Gerente editorial: 
          Lauri Cericato 
          Editora: Teresa Christina W. P. de Mello Dias 
          Editora assistente: 
          Edilene Martins dos Santos 
          Licenciamento de textos: 
          Stephanie Santos Martini 
          
          Todos os direitos reservados
          Copyright desta edio: 
          Saraiva S.A. Livreiros 
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          Fone: (11) 3613-3000 
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          Fax vendas: (11) 3611-3268 
          ~,www.editorasaraiva.com.br~, 
<p>          
                              I
Sumrio

Quarta Parte

<F->
Unidade 5 -- Clculo 
  algbrico
Captulo 14- Expresses 
  algbricas :::::::::::::: 389 
Expresses contendo 
  letras :::::::::::::::::: 391  
Valor numrico ::::::::::: 395
Polinmios ::::::::::::::: 403
Polinmio com uma 
  varivel :::::::::::::::: 409
Grau de um polinmio com 
  uma varivel :::::::::::: 410
Captulo 15- Operaes 
  com polinmios :::::::::: 415
Adio ::::::::::::::::::: 416
Subtrao :::::::::::::::: 420 
Oposto de um polinmio ::: 420
Diferena de 
  polinmios :::::::::::::: 421 
Multiplicao :::::::::::: 425
Monmio  monmio :::::::: 425
<p>
Monmio  polinmio :::::: 426
Polinmio  polinmio :::: 428
Multiplicao de trs ou 
  mais polinmios ::::::::: 434
Diviso :::::::::::::::::: 439
Monmio  monmio :::::::: 440 
Polinmio  monmio :::::: 442
Polinmio  polinmio :::: 444
Matemtica no tempo -- A 
  lgebra literal ::::::::: 457

Unidade 6 -- Produtos 
  notveis e fatorao
Captulo 16- Produtos 
  notveis :::::::::::::::: 465
Quadrado da soma de dois 
  termos :::::::::::::::::: 466 
Quadrado da diferena de 
  dois termos ::::::::::::: 473
Produto da soma pela 
  diferena de dois 
  termos :::::::::::::::::: 478 
Identidades :::::::::::::: 485 
<F+>
<157>
<T mat. realidade 8>
<t+389> 
Unidade 5 -- Clculo algbrico 

<F->
<R+>
Captulos: 
14- Expresses algbricas 
15- Operaes com polinmios 
<R->
<F+>
<158>

Unidade 6 -- Produtos notveis 
  e fatorao 

Captulo:
 16- Produtos notveis

<F->
<R+>
Captulo 14- Expresses 
  algbricas
<R->

As medidas do campo 

  Num campo de futebol, a medida do comprimento tem 42 metros a mais que a medida da largura. Quais so essas medidas, sabendo que o permetro do campo  de 356 metros? 
<p>
<F->
        x
pccccccccccccccc
l               _
l               _
l               _
l               _
l               _
l               _
l               _ x+42
l               _
l               _
l               _
l               _
l               _
l               _
v---------------#
<F+>

  Lendo atentamente o problema, notamos que h duas medidas a serem descobertas: a largura e o comprimento do campo.  dado que o comprimento tem 42 metros a mais do que a largura. Ento, representando por *x* a largura em metros, o comprimento ser x+42. 
<p>
Expresses contendo letras 

  Iniciamos o estudo da lgebra no 7 ano. Voc deve se lembrar de que, na resoluo de muitos problemas, recorremos s letras para representar nmeros e escrever simbolicamente expresses matemticas. Construmos, assim, as chamadas expresses algbricas. 
  Por exemplo: 

<R+>
<F->
_`[{adaptao do quadro.  esquerda dos dois pontos (:) esto as expresses literais e,  direita, as expresses algbricas_`]
O triplo de um nmero: 3a (ou 3b, ou 3c ou 3x, etc.); 
A soma de um nmero com seu quadrado: x+x2;
Os trs quartos de um nmero adicionados a 5: #:dx+5; 
A mdia aritmtica de dois nmeros: ?a+b*2; 
A largura do campo mais 42 metros: x+42.
<F+>
<R->
<159>
<p>
  Utilizamos expresses algbricas tambm em questes de Geometria: 

<F->
pcccccccccccc
l            _
l            _
l            _ x
l            _
l            _
l            _
v------------#
<F+>

  O permetro desse quadrado  4x. 

<F->
       b
     #ccc
    _    
    _     
    _ h    
    _       
----#--------u
       B
<F+>

  A rea desse trapzio  `(?B+b*2`)h.
<p>
<F->
pcccccccccccccccccccc
l                    _
l                    _
l                    _ x
l                    _
l                    _
l                    _
v--------------------#
         x+2
<F+>

  A rea desse retngulo  `(x+2)x.

<F->
            
            
          
 180-x  
         x
------------------
<F+>

  O suplemento do ngulo *x*  180-x. 

  Expresses algbricas so formadas por letras, nmeros e sinais de operaes matemticas. As 
<p>
letras que aparecem numa expresso algbrica so denominadas variveis. 

Exerccios

<R+>
<F->
1. Represente as expresses literais usando apenas smbolos matemticos: 
a) a tera parte do nmero *a*; 
b) a soma do dobro do nmero *x* com 5; 
c) o quadrado do nmero *x*; 
d) a soma do nmero *x* com sua raiz quadrada; 
e) a diferena entre o quadrado e o qudruplo do nmero *x*; 
f) o produto do inteiro *n* e seu sucessor. 

2. Represente, por meio de expresso algbrica: 
a) a soma do quadrado do nmero *x* com o triplo do nmero *y*; 
b) a soma dos quadrados dos nmeros *x* e *y*; 
<p>
c) o quadrado da soma dos nmeros *a* e *b*; 
d) a rea do tringulo de base *b* e altura *h*; 
e) o complemento do ngulo *x*; 
f) o permetro do retngulo de base *x* e altura *y*. 

3. Escreva usando apenas smbolos matemticos: 
a) o dobro do nmero *a*, somado com a metade de *b*; 
b) o nmero *x* menos o seu inverso; 
c) a soma dos quadrados dos nmeros *a*, *b* e *c*; 
d) a soma dos nmeros *a*, *b* e *c* elevada ao quadrado;  
e) a raiz quadrada da soma dos nmeros *x* e *y*; 
f) a soma das razes quadradas dos nmeros *x* e *y*.
<F+>
<R->
<160>

Valor numrico 

  O permetro do quadrado de lado *a*  4~a. 
<p>
  Quando a=5, temos: 
 4a=4.5=20 
  Ento, para a=5, o permetro  20. 
  Portanto, 20  o valor numrico da expresso 4a para a=5. 
  Vamos calcular agora valores numricos da expresso x2-2x+
 +2. 
 Para x=-2, temos: 
 x2-2x+2=`(-2)2-2`(-2)+2=
  =4+4+2=10 
 Para x=3~5, temos:
 x2-2x+2=`(3~5`)2-2.3~5+
  +2=9~25-6~5+2=29~25
  Ento, podemos dizer que: 

  Valor numrico de uma expresso algbrica  um nmero que se obtm aps substituir as variveis por nmeros e efetuar as operaes indicadas. 

  Utilize parnteses quando substituir variveis por nmeros negativos ou por fraes.
<p>
Exerccios

<R+>
4. Na figura, indicamos as medidas do campo de futebol em metros. 
<R->

<F->
        x+42
pcccccccccccccccc
l                _
l                _
l                _ x
l                _
l                _
l                _
v----------------#

<F+>
<F->
<R+>
a) Qual  a expresso algbrica do permetro?
b) Calcule o permetro para x=68 m. 

5. A rea do polgono da figura a seguir  a soma das reas de um quadrado e de um retngulo. 
<R->
<F+>
<p>
<F->
         x
      pcccc
      l    _ x
      l    _
      l    _   2
------l    _------
l                _
l                _ 2
v----------------#
       x+4
<F+>

<R+>
<F->
a) Escreva uma expresso algbrica que represente a rea desse polgono. 
b) Calcule o valor numrico da rea para: 
 x=3;
 x=9;
 x=6; 
 x=4,5.
c) Escreva outra expresso algbrica que represente a rea, decompondo o polgono em trs quadrados e um retngulo.  
d) Calcule o valor numrico da expresso do item c) para x=3. 
<p>
e) Compare os resultados calculados nos itens b) e d) para x=3.  

6. Calcule 2x2-x+3 para os seguintes valores de *x*: 
a) 2 
b) -1  
c) #,c
d) -#,b

7. Se d=n`(n-3)~2, calcule o valor de *d* para n=10. 
8. Sendo x=?-b+b2-
  -4ac*~2a, calcule o valor de *x* para a=1, b=5 e c=6.
9. O preo de uma corrida de txi  determinado pela expresso 
  algbrica p+q.x, sendo *p* o valor da bandeirada, *q* o preo por quilmetro rodado e *x* a quantidade de quilmetros rodados. Quando p=3,50 reais e q=2,25 reais, quanto se paga por uma corrida de 6 km? 
<p>
10. Copie as tabelas no caderno e complete-as, calculando os valores numricos das expresses. 
<F+>
<R->

<F->
Tabela A
:::::::::::::::::::::::::::::::
x    _ y    _ `(x+y`)2 _ x2+y2
:::::w::::::w::::::::::w::::::::::
3   _ 4   _ '''      _ '''     
-7  _ 7   _ '''      _ '''
6   _ 6   _ '''      _ '''
0   _ 9   _ '''      _ '''
1,1 _ 0,4 _ '''      _ '''
:::::j::::::j::::::::::j::::::::::
<F+>

<F->
Tabela B
:::::::::::::::::::::::::
x   _ `(x+1`)3 _ x3+1
::::w:::::::::::w::::::::::
0  _ '''       _ '''     
1  _ '''       _ '''
2  _ '''       _ '''
-1 _ '''       _ '''
#,b _ '''       _ '''
::::j:::::::::::j::::::::::
<162>
<p>
<R+>
<F->
11. Se a=0,5 e b=1,5, qual  o valor de ?ab-a2*~?3b-a*? 

12. Calcule as seguintes expresses: 
a) `(ab-b+1`)`(ab+a-1`), para a=4 e b=-2 
b) `(a+b+c`)`(a-b+c`)`(a-b-c`), para a=1, b=-1 e c=1  
c) ?xy-x*~?2y-1*, para x=1 e y=1,5 
d) p`(p-a`)`(p-b`)`(p-c`), para a=3, b=4, c=5 e p=?a+b+c*~2
e) ?a+b*~?1-ab*, para a=2~3 e b=4~5 

13. Existe o valor numrico de ?a+b*~?1-ab* para a=4 e b=0,25? Por qu? 
14. Para que valor de *x* no existe valor numrico de ?x-1*~?x-2*?

15. Calcule, se existir, o valor numrico de ?3x2+2y*~
  ~?x-4y* nos seguintes casos: 
a) x=0 e y=5 
b) x=2 e y=1~2
c) x=4 e y=-24  
d) x=-2 e y=-1  

16. Para fazer o que se pede nos itens a seguir use a figura a seguir, composta de um quadrado e quatro retngulos de lados *x* e *h*: 
<F+>
<R->

<F->
   pcccccccccc
   l          _
pccpcccccccccccc
l  l          _  _
l  l          _  _
l  l          _  _ x
l  l          _  _
l  l          _  _
l  l          _  _
v--v----------#--#
   l          _ h
   v----------#
<F+>

<R+>
<F->
a) Represente, por meio de expresso algbrica, a rea do polgono da figura. 
<p>
b) Calcule a rea nos casos: 
 x=9 e h=1 
 x=2,5 e h=10
c) Se esse polgono for recortado e desenhado numa cartolina, dobrando-se os tracejados formamos uma caixa aberta. Qual  a expresso algbrica do volume dessa caixa? 
<F+>
<R->

Polinmios 

  Continuemos recordando noes de lgebra estudadas no 7 ano. 
  So exemplos de monmios: 
<F->
8a :> coeficiente 8 e parte 
  literal *a* 
-2xy :> coeficiente -2 e parte 
  literal xy 
3~4x2 :> coeficiente 3~4 e 
  parte literal x2
a2b2c :> coeficiente 1 e 
  parte literal a2b2c 
-x :> coeficiente -1 e parte 
  literal *x* 
10 :> monmio sem parte literal 
0 :> monmio nulo 
<F+>
<163> 
  Como foi possvel observar, monmio pode ser um nmero ou uma expresso algbrica. Para ser chamada de monmio, a expresso algbrica deve representar apenas multiplicaes de nmeros e le-
 tras, podendo a multiplicao 
estar indicada na forma de potncia. A parte numrica do monmio  denominada coeficiente. 

<F->
mono: 1
bi: 2
tri: 3
poli: vrios
<F+>

  So exemplos de polinmios:
<F->
5x :> polinmio de 1 termo (ou 
  monmio) 
ax+b :> polinmio de 2 termos 
  (ou binmio) 
3x2+2x-1 :> polinmio de 3 
  termos (ou trinmio) 
xy+yz+zx-x-y-z+1 :> polinmio de 
  7 termos 
<F+>
  Portanto, polinmio  uma soma algbrica de monmios, cada um dos quais chamado termo do polinmio. 
  Quando dois termos tm partes literais iguais (ou no tm parte literal), eles so chamados termos semelhantes. 
  Dois ou mais termos semelhantes podem ser reduzidos a um s termo. Para isso, conservamos a parte literal e somamos os coeficientes. 
  Veja os exemplos a seguir: 
2x+3x=`(2+3)x=5x 
  (Veja uma interpretao geomtrica na figura a seguir:) 

<F->
l x _ x _ + l x _ x _ x _ =
v---#---#   v---#---#---#

  l x _ x _ x _ x _ x _
= v---#---#---#---#---#
<F+>

 4x2+2x2=6x2 
  (Interpretao geomtrica 
 _`[no representada_`]) 

<R+>
_`[{uma menina sentada pensa: "Tem que fazer x2 com x2 e *x* com *x*. Para x2 com *x*, a 
<p>
  operao fica indicada. No d para reduzir. Por qu?"_`]
<R->

2ab+3a-4b+6-7ab-a+b-
  -1~2=-5ab+2a-3b+11~2
<164>

Exerccios

<R+>
<F->
17. Indique se  monmio, binmio ou trinmio. 
a) ax+b 
b) x3-1.000 
c) 3abc 
d) ax2+bx+c 
e) x3 

18. Qual  o coeficiente? 
a) 6x 
b) -12 m2
c) 3~5ab 
d) x3y2
e) -ab2 
f) x~4

19. Reduza a um s termo. 
a) 4x+7x 
b) 8y-5y+y
<p>
c) 5a-7a-a
d) -2x2+x2+9x2
e) 1~2xy-2xy
f) 4xy+2yx
g) -3~5x+7~2x-15~4x 

20. Determine o permetro de cada polgono _`[no representado_`].
<F+>
<R->
 
<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
21. Ubiratan tem trs irms: Samantha, Luana e Natasha. Em relao  idade de Ubiratan, Samantha tem 5 anos a mais, Luana tem 2 anos a mais, e Natasha tem 6 anos a menos. Considerando que Ubiratan tem *n* anos, quantos anos tero os quatro juntos? 
<p>
22. Qual  a rea destas figuras? E o permetro? 
<R->
<F->
a)
<F->
   !::
   l  _  
!::r::w::
l  l  _  _ a
h::r::w::j
   l  _ a 
   h::j

b)
        y
     y pcc 
       l  _   x
  pccccpcccccc
  l    l  _    _ x
  v----v--#----#
<F+>

<R+>
<F->
23. Reduza os termos semelhantes e classifique em monmio, binmio ou trinmio:
a) 2a+3b-1-3b+a
b) x+3y-6x-3y+6x-2
c) a2-3a+1-a2+5a-4+
  +3a+7a-12a+2
<p>
d) 2x3-3+2x2-x3-2x2+
  +3x-x3+3-3x
e) a-b-3c+2ab-3ac+bc-2ab+
  +3c+b-4a+ac
f) -3x-2y-1+7x-5y-8-2x-y+
  +9+2x+y
g) 25x2-10xy+9y2-162+
  +12xy-9y2-x2+y2
<F+>
<R->
<165> 

Polinmio com uma varivel 

  Podemos nomear os polinmios usando letras maisculas: A, B, 
C, P, Q, etc. Observe: 
<F->
A=4x+3 
B=6x2-x+1~2
C=3x+x3-4+2x2 
D=1-3x4+4x 
<F+>
  Todos esses so polinmios com uma s varivel, a varivel *x*. 
  Costuma-se apresentar os polinmios com uma varivel ordenados segundo os expoentes decrescentes 
<p>
dessa varivel. Por exemplo: 
 C=3x+x3-4+2x2 :> C=x3+
  +2x2+3x-4 
 D=1-3x4+4x :> D=-3x4+
  +4x+1 
  Observe que, no polinmio D do exemplo, os termos em x3 e em x2 possuem coeficiente nulo, ou seja, D=-3x4+0x3+0x2+
 +4x+1. 
  Quando todos os coeficientes de um polinmio so iguais a zero, o polinmio  nulo. Por exemplo, P=0x2+0x+0=0  um polinmio nulo. 

Grau de um polinmio com uma 
  varivel 

  Quando os termos semelhantes esto reduzidos, denominamos grau de polinmio no nulo o maior expoente da varivel nos termos no nulos. 
<p>
  Veja os exemplos: 
<R+>
<F->
_`[{tabela em trs colunas, contedo a seguir_`]
1 coluna: polinmio;
2 coluna: termo com maior expo-
  ente de *x*;
3 coluna: grau.
<F+>
<R->

<F->
::::::::::::::::::::::::::::::::
1                   _2    _3
::::::::::::::::::::::w:::::::w:::
A=4x+3             _4x    _1 
B=6x2-x+#,b       _6x2 _2
C=x3+2x2+3x-4 _x3   _3 
D=-3x4+4x+1     _-3x4_4
::::::::::::::::::::::j:::::::j:::
<F+>

  Observe que: 
<R+>
 Para se determinar o grau, o polinmio deve estar com os termos semelhantes reduzidos e, de preferncia, ordenado. 
<R->
 P=5x2-4x+2x-5x2-6 :> P=
  =-2x-6.
  P  um polinmio de grau 1. 
<p>
<R+>
 Na determinao do grau, s consideramos os termos de coeficientes diferentes de zero. 
<R->
 Q=0x5+3x4-2x3+0x2+
  +x-1 :> Q=3x4-2x3+x-1.
  Q  um polinmio de grau 4. 
<166>
<R+>
 Para o polinmio nulo no se define grau. 
<R->
 R=0x3+0x2+0x+0=0 
  R  um polinmio nulo e, portanto, no tem grau. 
 S=0x2+0x+5 :> S=5 
  J o polinmio S tem grau. O grau de S  zero. Observe que S=5.x0. 

Exerccios

<R+>
<F->
24. D o grau de cada polinmio. 
a) A=x3+0x2+2x+4 
b) B=0x3+2x2+0x-2 
c) C=0x3+0x2+3x+1 
d) D=0x3+0x2+0x+0
e) E=0x3+0x2+0x+4
f) F=1+x+x2+x3 
<p>
25. Ordene segundo os expoentes decrescentes de *x* e d o grau: 
a) A=2x+3x2+1 
b) B=4-5x2+4x 
c) C=x3+3x-2+x2 
d) D=3x2-1+x4 

26. Reduza os termos semelhantes, ordene e d o grau. 
a) 4x2-7x+6x2+2+4x-x2-1 
b) 6x+1-x2-2+3x-2x+x2-
  -3x
c) 3x+4-5x2+7x-3x3+
  +6x2-7+2x+8x3 
d) x4-2x3+3x2+2x-1+4-
  -3x-3x2+4x3-x4+5x3-
  -2x 

27. Qual  o grau do polinmio? 
a) A=x4-x3+5x2-2x4-
  -x3-x2+x4+2x2 
b) B=0x4+5x3+4x2+6x-
  -5-5x3+4x2+4x-5
<p>
c) C=2x3+x+4-x3+2x-9-
  -3x-x3+5
d) D=0x3+3x2-2x+5+2x-
   -2x2+8-x2  
<F+>
<R->

Desafio 

Mistura complicada 

  Num recipiente A h 100 litros de gua e num recipiente B h 100 litros de lcool. Retira-se um litro de gua de A e coloca-se em B. Em seguida, retira-se um litro da mistura de B e 
coloca-se em A. No final das operaes, h mais gua no lcool ou mais lcool na gua? 

               ::::::::::::::::::::::::
<p>
<167>
Captulo 15- Operaes com 
  polinmios
 
Os prdios da praia 

  Numa praia de Bertioga (SP), uma construtora planeja construir dois edifcios: o Verde Mar e o Mar Azul. 
  O Verde Mar ter os apartamentos em 9 andares, alm do apartamento do zelador, no piso trreo. J o Mar Azul ter s 6 andares, mas com 4 apartamentos a mais por andar, alm do apartamento do zelador, tambm no trreo. 
  Se o Verde Mar tiver *n* apartamentos por andar, quantos apartamentos sero construdos, incluindo os dos zeladores, considerando-se os dois prdios? 
  No Verde Mar sero 9.n apartamentos nos andares, mais o do zelador, portanto 9n+1 apartamentos. No Mar Azul, com 4 
<p>
apartamentos a mais por andar, sero 6.n+6.4 apartamentos nos andares. Com o do zelador, sero 6n+25 apartamentos. 
  Para saber o nmero total de apartamentos, precisamos somar 9n+1 com 6n+25. 

Adio 

  Dados os polinmios A=9n+1 e B=6n+25, indicamos a soma A+B como segue: 
 A+B=`(9n+1)+`(6n+25) 
  Para calcular essa soma: 
<R+>
 eliminamos os parnteses, indicando a soma de todos os termos de A com todos os de B: 
<R->
 A+B=9n+1+6n+25 
<R+>
 reduzimos os termos semelhantes: 
<R->
 A+B=9n+1+6n+25 
 A+B=15n+26 
  
  Coloque os termos semelhantes um sob o outro.
<168>
<p>
  Denominamos soma de dois ou mais polinmios ao polinmio que se obtm adicionando todos os termos dos polinmios dados. 

  Assim, respondendo  pergunta do problema proposto, contando os dos dois edifcios, sero construdos 15n+26 apartamentos. 
  Veja outro exemplo: 
  Dados os polinmios A=x2-
 -2x+1, B=3x2-1 e C=-2x+
 +3, vamos calcular a soma A+B+
 +C: 
 A+B+C=`(x2-2x+1)+`(3x2-
  -1)+`(-2x+3)=x2-2x+1+
  +3x2-1-2x+3=`(1+3)x2+
  +`(-2-2)x+`(1-1+3)=4x2-
  -4x+3 

<F+>
Exerccios

<R+>
<F->
28. Uma corrida de txi custa a quantia fixa de *p* reais mais a quantia de *q* reais por quilmetro rodado. Mrio precisa fa-
<p>
  zer duas corridas, uma de 10 km 
  e outra de 12 km. Quanto vai gastar em cada uma? E ao todo?

29. Observe os quadros A e B a seguir: 
A: A soma do quadrado de um inteiro *n* com o sucessor de *n*.
B: O triplo do quadrado do inteiro *n* adicionado ao antecessor de *n*.
a) Represente A e B na forma de polinmios na varivel *n*. 
b) Calcule A+B e expresse o resultado em palavras. 

30. Calcule as somas indicadas. 
a) `(3x+4)+`(6x-1) 
b) `(2a+5b`)+`(7a-6b`)
c) `(3x2+2x-1)+`(-2x2+4x+
  +2) 
d) `(3a-2b+c`)+`(-6a-b-2c`)+
  +`(2a+3b-c`) 
e) `(x2-2x+1)+`(3x2+4x-2)+
  +`(x2-2x+2)
<p>
f) `(2x3+3x2-2x+1)+
  +`(-2x3-3x2+7x-2) 

31. So dados os polinmios: 
A=2x2-x-1; B=-3x2+3x; 
  C=4x2-3; D=x2+7x+1; 
  E=2x+6. 
  Calcule: 
a) A+B+C 
b) A+B+D+E
c) B+C+E

32. Utilize o dispositivo prtico para calcular: 
a) A+B, sendo A=3x+2y-6 e 
  B=2x-7y+4  
b) A+B+C, sendo A=x2-2x+
  +2; B=3x2+4x-5 e C=4x-
  -1
<F+>

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<169>
<p>
<R->
Subtrao 

Oposto de um polinmio 

<R+>
_`[{uma professora aponta para o quadro e pergunta: "Quanto d A+B?"_`]
<R->
 A=3x-6y+1
 B=-3x+6y-1

A+B=3x-6y+1-3x+6y-1=0 
  A+B  o polinmio nulo. Dizemos, ento, que B  o oposto de A, e indicamos: B=-A 

  Oposto do polinmio A  o polinmio que, adicionado a A, d como soma o polinmio nulo. Indica-se por -A. 

  Veja os exemplos: 
 A=x2+3x-5 :> -A=-x2-3x+5 
 -`(2a-6b-7)=-2a+6b+7 
<p>
Diferena de polinmios 

<R+>
_`[{uma professora aponta para os seguintes polinmios que esto num quadro_`]
 B=2x+3y+5
 A=10x+9y+8
<R->

  Precisamos obter um polinmio C que torne verdadeiro C+B=A. Esse polinmio C  denominado diferena entre A e B, e indicamos C=A-B. 
 C=A-B :> C=`(10x+9y+8`)-
  -`(2x+3y+5`) 
  Para obter C, adicionamos A ao oposto de B: 
 C=`(10x+9y+8`)+`(-2x-3y-5`) 
 C=10x+9y+8-2x-3y-5 
 C=8x+6y+3 

  Denominamos diferena de dois polinmios ao polinmio que se obtm somando o primeiro com o oposto do segundo. 
<170>
<p>
  Confira que, somando C com B, obtemos A. 
  A diferena de dois polinmios  o polinmio que, adicionado ao segundo, d como resultado o primeiro. 
  Por exemplo: 
  Vamos calcular A-B, dados A=3x2+4x-1 e B=x2-7x+8: 
 A-B=`(3x2+4x-1)+`(-x2+7x-
  -8)=3x2+4x-1-x2+7x-8=
  =`(3-1)x2+`(4+7)x+`(-1-8)= 
  =2x2+11x-9 
 
  Lembre-se de trocar os sinais dos termos de B.

Exerccios

<R+>
<F->
33. D o oposto de cada polinmio. 
3x+4y+5; a-3b-c; 
  5x2-3x+1  
<p>
34. Utilize o dispositivo prtico para calcular as diferenas. 
a) A-B, sendo A=3x+2y+1 e B=2x+y-1
b) C-D, sendo C=-x2+5x-1 e D=2x2+1

==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg

35. Subtraia F de E, sendo E=a+2b-3c e F=3a-b+c. 
36. Qual  o polinmio que, adicionado a P=-3x2-2x+1, d como resultado Q=x2-5x-10? 

37. Observe os exemplos e responda s perguntas. 
a) `(6x2-2x+5)+
  +`(4x2-3x-1)=6x2-2x+5+
  +4x2-3x-1 
  Se eliminarmos parnteses precedidos do sinal "mais" (ou sem 
  sinal), alteramos os sinais dos 
  termos que estavam dentro dos parnteses?  
<p>
b) `(6x2-2x+5)-`(4x2-3x-
  -1)=6x2-2x+5-4x2+3x+1 
  Se eliminarmos parnteses pre-
  cedidos do sinal "menos", alteramos os sinais dos termos que estavam dentro dos parnteses? 

38. Calcule as diferenas indicadas, eliminando parnteses e reduzindo os termos semelhantes. 
a) `(7x+5)-`(2x+3`)
b) `(3x2-1~3)-
  -`(6x2-4~5`)
c) `(2x2+5x~2-2)-
  -`(x2+9x+2~5`)
d) `(2a-3ab+5b`)-
  -`(-a-ab+2b`) 
e) `(2x2+3x-1)+
  +`(3x2+4x+5)-`(x2+3x+3`) 
f) `(3x+2y+z`)-`(2x+y-z`)-
  -`(4x-3y-3z`)
<F+>
<R->
<171>

39. Dados: 
 A=x2+3x+3; B=3x2-2x-1; 
  C=-x2-x+2. 
  Calcule: 
<F->
a) A-B-C
b) -A-B+C
<p>
c) -C+B-A 
d) A+`(B-C`) 
e) A-`(B-C`)

40. Responda: certo ou errado? 
a) -x-3=-`(x+3) 
b) -x-3=-`(x-3)
c) -x+3=-`(x-3)
d) -x+3=-`(x+3)
e) 3-x=-`(x-3)
f) b-a=-`(a+b`)
<F+>

Multiplicao 

Monmio  monmio 

<R+>
_`[{um menino com um livro em uma das mos, pergunta para uma menina: "Quanto  
  `(3x2y2)`(2x3)?"_`]
<R->

  Nesta multiplicao, vamos usar uma propriedade da potenciao: 
`(3x2y2)`(2x3)=3.2.x2.
  .x3.y2=6.x?2+3*.y2=
  =6x5y2 
<p>
  Veja outro exemplo: 
 `(6~5ab2`)
  `(-15~2a2b3`)=-3~1'
  '3~1'a'a2'b2'b3=
  =-9a3b5

  O produto de dois monmios  aquele cujo coeficiente  o produto dos coeficientes dos monmios dados e cuja parte literal  o produto das respectivas partes literais. 

Monmio  polinmio 

<R+>
_`[{uma menina pergunta para um menino: "Quanto  
  `(3x`)`(4x+5)?"_`]
<R->
<172>

  Podemos interpretar geometricamente essa multiplicao. Veja: 

<R+>
_`[{trs retngulos. As cores sero identificadas conforme legenda a seguir_`]
 Legenda:
 rea azul: az;
<p>
 rea verde: vd;
 rea rosa: rs.
<R->
       
<F->
       pccccccc    pcccccccc   
       l       _    l   rs   _ 5  
       l       _    r::::::::w   
4x+5 l   az  _ =  l        _ =  
       l       _    l   vd   _   
       l       _    l        _ 4x
       l       _    l        _   
       v-------#    v--------#   
         3x

   pcccccccc   
   lrs 15x _   
   r::::::::w   
=  l        _ 
   l12x2 _   
   l        _ 
   l   vd   _   
   v--------#   
<F+>

  Observe como multiplicamos um monmio por um polinmio:
`(3x`).`(4x+5)=3x.4x+3x.5=
  =12x2+15x
<p>
 -x2.`(x2-3x+4)=-x2.x2-
  -x2.`(-3x`)-x2.4=-x4+
  +3x3-4x2

  Na multiplicao de um monmio por um polinmio, aplicamos a propriedade distributiva: multiplicamos o monmio por todos os termos do polinmio e adicionamos os resultados. 

Polinmio  polinmio 

<R+>
_`[{uma menina com um livro em uma das mos, pergunta para dois meninos: "Quanto  
  `(2x+3`)`(3x+4`)?"_`]
<R->

  Novamente, vejamos a interpretao geomtrica: 

<R+>
_`[{trs retngulos, as cores sero identificadas conforme legenda a seguir_`]
 Legenda:
 rea alaranjada: al;
 rea azul: az;
<p>
 rea lils: li;
 rea rosa: rs;
 rea verde: vd.
<R->

<F->
        pcccccccccccccccc   
        l                _ 
        l                _
        l      al        _ =
3x+4  l                _
        l                _ 
        l                _
        l                _ 
        v----------------# 
             2x+3

   pccccccccccccccc   
   l   li   _   rs  _ 4
   r::::::::w:::::::w
=  l        _       _ =
   l        _       _
   l  az    _   vd  _ 3x 
   l        _       _
   l        _       _ 
   v--------#-------# 
      2x       3
<p>
   pccccccccccccccc   
   l li 8x _ rs 12_   
   r::::::::w:::::::w
=  l  az    _  vd   _
   l        _       _
   l 6x2 _  9x  _   
   l        _       _
   l        _       _ 
   v--------#-------# 
<F+>

`(2x+3)`(3x+4)=2x.3x+2x.4+
  +3.3x+3.4=6x2+8x+9x+12 
<173>
  Observe como multiplicamos polinmios:
 (2x+3)(3x+4)=2x.3x+2x.4+
  +3.3x+3.4=6x2+8x+9x+
  +12=6x2+17x+12 
  Veja outro exemplo: 
 `(x2-2)`(x2+3x-1)=x2.x2+
  +x2.3x+x2.`(-1)-2.x2-2.
  .3x-2.`(-1)=x4+3x3-x2-
  -2x2-6x+2=x4+3x3-
  -3x2-6x+2 

  Para multiplicar dois polinmios, multiplicamos cada termo de 
um deles por todos os termos do outro e adicionamos os resultados. 
<p>
O polinmio obtido  denominado produto dos polinmios dados. 

Exerccios

<R+>
<F->
41. Copie no seu caderno e complete: 
  Na multiplicao de potncias de mesma base, ''' a base e ''' os expoentes. 

42. Vamos calcular: 
a) 6`(5x`) 
b) `(3a`)`(4a2`) 
c) `(-2x2`)`(2x`)
d) `(x3y`)`(5xy`) 

43. Vamos efetuar as multiplicaes: 
a) 2`(3x+4`)
b) 3`(2x2-x-3`) 
c) 4x`(2x+5`) 
d) -2x2`(x2-x+4`) 
e) a2b`(2a2+ab-b2`)
f) 3x`(x2-xy+y2`) 
<174>
<p>
44. Calcule a rea de cada retngulo. 
<F+>
<R->
<F->
a)
      pcccccccc   
    x l        _  
      v--------#
        2x+1

b)
      pcccccccc   
      l        _ x+2
      v--------#
        4x+3
<F+>

<R+>
<F->
45. Vamos calcular: 
a) (2x+3)(4x+1)
b) `(3x-1~2)`(x2+4) 
c) `(2a+3b`)`(5a-b`)
d) `(a2-b`)`(2a-5b`)  
e) `(2x-3)`(x2-3x+5`)
f) `(x-3y+1`)`(2x+2y-6`)
<p>
46. Calcule A.B utilizando o dispositivo prtico nos seguintes casos: 
a) A=3x+5 e B=2x-1
b) A=3x-1 e B=x2+4x+8 

==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg

47. Calcule A.B em cada item. 
a) A=2x+5 e B=x2-4x+9 
b) A=3x2-1 e B=x2+x-5 
c) A=x2+3x+4 e B=-2x2-
  -x+3 
d) A=x2-x+1 e B=x3-3x2-
  -2x+4 

48. Qual  o polinmio que multiplicado por 5x2 d o produto 10x5-15x4+5x3+
  +25x2? 
<p>
49. Pense em vrios exemplos antes de responder s perguntas a seguir. 
a) Um polinmio tem grau 3 e outro tem grau 5. Qual  o grau da soma dos polinmios? E o grau do produto deles?  
b) Dois polinmios tm graus iguais a 3. Qual  o grau da soma dos polinmios? E o grau do produto deles? 
<F+>

Multiplicao de trs ou mais 
  polinmios 
<R->

  Para multiplicar trs ou mais polinmios, devemos multiplicar os dois primeiros, depois multiplicar o resultado pelo polinmio seguin-
te, e assim por diante. Veja o exemplo: 
 `(x+2)`(x+1)`(2x-1)=`(x2+x+
  +2x+2).`(2x-1)=`(x2+3x+2).
  .(2x-1)=2x3-x2+6x2-
  -3x+4x-2=2x3+5x2+x-2 
<p>
Exerccios

<R+>
50. Calcule `(x-3)`(x+3)`(x2+
  +9)

<F->
51. Dados A=2x+3, B=3x-1 e C=x2+4, calcule as expresses a seguir, lembrando que as multiplicaes devem ser efetua-
  das antes das adies e subtraes. 
a) 3A+2B 
b) {a{b+C 
c) 5C-2{a{b
<F+>
<175>
<p>
52. Calcule a rea da regio colorida. 

_`[{figura de dois retngulos, um dentro do outro. O maior  colorido e o menor  branco_`]
<R->

<F->
!::::::::::::::::::
l                  _
l   !::::::::::   _
l   l          _   _
l   l          _ x _ 2x+3
l   l          _   _
l   h::::::::::j   _
l      2x+1      _
h::::::::::::::::::j
       4x+1

<R+>
53. Recortando o polgono a seguir e dobrando nas linhas tracejadas, formamos uma caixa fechada (bloco retangular).
<R->
<p>
     3x+2
   pcccccccc   
   l        _ 
   l        _ 2x+1
   l        _
   r::::::::w
   l        _ x
!::r::::::::w::
l  l        _  _
l  l        _  _ 2x+1
l  l        _  _
h::r::::::::w::j
   l        _ x
   h::::::::j

<R+>
<F->
a) Qual  a rea total do papel usado na construo da caixa? 
b) Qual  o volume da caixa? 

54. Calcule, reduzindo ao mesmo denominador. 
a) ?5x-3*~6+?7x-1*~4+
  +?4x+2*~3
b) 2x-?7x+4*~5-?3-x*~2
<p>
55. Para x=a, qual  o valor da expresso x3-`(a+b+c`)x2+
  +`(ab+ac+bc`)x-abc? 

56. Efetue as operaes indicadas. 
a) a`(a-b+c`)+b`(a+b-c`)+c`(-a+b+c`) 
b) x`(x2+xy+y2`)-
  -y`(x2+xy+y2`) 
c) 2x-1~2`(x+3~4`)-
  -1~3`(3-x~4`)
d) 2~3`(x-1~4`)-
  -3~5`(x~2-1`)+x-1
e) `(x-2`)`(16+8x+8x+4x2+
  +2x3+x4`)+32 
f) `(1-x`)`(1+x+x2`)`(1+x3+
  +x6`)

57. A potncia `(2x+5`)2  calculada assim: 
`(2x+5`)2=`(2x+5`)`(2x+5`)=
  =4x2+10x+10x+25=4x2+
  +20x+25 
  Agora, calcule: 
a) `(3x+1)2  
b) `(2a-3b`)2
<p>
c) `(2a+b-5)2 
d) `(2x+1)3 
<176>

<F+>
<R->
Desafio 

Excurso bem planejada 

  Um navio saiu com 250 passageiros para uma excurso, levando vveres para 30 dias. Ao fim de 6 dias, 10 passageiros desistiram da viagem e desembarcaram. Para quantos dias foram suficientes os vveres restantes? 

Diviso 

Dividindo uma rea 

  Qual  a rea do quadrado {a{b{c{d? E a rea de cada retngulo? 
<p>
<F->
D               C
 !::::::::::::
 l   _   _   _   _
 l   _   _   _   _
 l   _   _   _   _ 4x
 l   _   _   _   _
 l   _   _   _   _
 l   _   _   _   _
 l   _   _   _   _  
 l   _   _   _   _
 h:::j:::j:::j:::j
A x   x   x   x B
<F+>

  rea do quadrado {a{b{c{d=
 =`(4x`)2=16x2; 
  rea de cada retngulo =x.4x=
 =4x2. 

Monmio  monmio 

  Na figura anterior, o quadrado de rea 16x2 est dividido em quatro partes iguais. A rea de cada parte tambm pode ser assim calculada: 
 `(16x2`)4=16x2~4=
  =16~4x2=4x2 
<177>
<p>
  Veja outras divises de monmios: 
 9x33x=9x3~3x=9~3.
  .x3~x=3x?3-1*=3x2 
 -12x4y28x2y2=
  =-12x4y2~8x2y2=
  =-3~2.x4~x2=-3~2x2

  Para dividir dois monmios, dividimos os respectivos coeficientes e partes literais. 

  Nem sempre a diviso de um monmio por outro d como resultado um novo monmio. 
  Por exemplo, observe os resultados destas divises: 
 5x23y=5x2~3y; 2abc=
  =2ab~c; 1x=1~x; x4
  y2=x4~y2.
  Esses resultados no so monmios. So expresses que recebem o nome de fraes algbricas. 
<p>
Polinmio  monmio 

  Veja como dividimos polinmio por monmio: 
 `(3x4+2x3)x=?3x4+
  +2x3*~x=3x4~x+2x3~x=
  =3x3+2x2
 `(x5-x4+2x3`)`(2x2`)=?x5-
  -x4+2x3*~2x2=
  =x5~2x2-x4~2x2+
  +2x3~2x2=1~2x3-
  -1~2x2+x 
 `(2a4b3-a3b2`)
  `(4a3b`)=?2a4b3-
  -a3b2*~4a3b=
  =2a4b3~4a3b-
  -a3b2~4a3b=
  =1~2ab2-1~4b

  Para dividir um polinmio por um monmio, dividimos cada termo do polinmio pelo monmio e adicionamos os resultados. 
<p>
Exerccios

<R+>
<F->
58. Copie no seu caderno e complete: 
  Na diviso de potncias de mesma base, ''' a base e ''' os expoentes. 
59. Por qual monmio devemos multiplicar 4xy2 para obter como produto 20x4y4?

60. Calcule os quocientes de: 
a) 81x327x 
b) -63a2b39ab3
c) -49xy2`(-7y`) 
d) 32a2b5~8ab3 
<178>

61. Calcule as seguintes divises: 
a) ?4a4-2a3+8a*~2a
b) `(9x6-12x5+18x3-x2`)
  `(3x2`)
c) `(8a3b2-12a2b3+
  +16ab4`)`(-4ab2`)
<p>
62. Em quais das divises seguintes o resultado  um monmio? 
a) 15x2~3x
b) 14x~-7x2
c) 3a3b2~a2b3
d) -a4x4~2a2x2
e) 20x5~16x3
f) -2x2y~5xy2

63. Em quais das divises seguintes o resultado  um polinmio? 
a) ?x4+2x3*~x2 
b) ?x2+2x+1*~x
c) ?a+a2b*~-a
d) `(4x4-2x3+x2`)`(-2x2`)
e) `(a2b2-2ab2`)`(a2b`)
<F+>
<R->

Polinmio  polinmio 

  Voc j sabe o algoritmo _`[no representado_`] da diviso de nmeros naturais. 
<F->
AB=Q resto R
A -- dividendo
B -- divisor
Q -- quociente
<p>
R -- resto
A=Q.B+R
0=R<B
<F+>
  Agora, estudaremos a diviso de polinmios, cujo algoritmo (dispositivo prtico)  semelhante quele da diviso de nmeros naturais. 
  Dados dois polinmios A e B na varivel *x*, com B=0,  sempre possvel encontrar os polinmios Q e R tais que: 
 A=Q.B+R e grau de R < grau de 
  B (ou R=0, na diviso exa-
  ta). 
<R+>
 Q  quociente da diviso de A por B. 
 R  resto da diviso de A por B. 
 A  dividendo. 
 B  o divisor. 
<R->
  Dividir um polinmio A por outro polinmio B significa encontrar o quociente Q e o resto R. 
<p>
  Nos exemplos a seguir, mostraremos como se efetua a diviso de polinmios. 
  Vamos dividir A=12x2+23x+
 +13 por B=4x+1. 
<R+>
1 Dividimos o termo de maior grau de A `(12x2`) pelo termo 
  de maior grau de B `(4x`) e colocamos o resultado no quociente: 
<R->
 12x24x=3x  
<179>
<R+>
2 Multiplicamos o quociente obtido `(3x`) pelo divisor e subtramos o resultado do dividendo. Obtemos, assim, um resto parcial: 
<R->
 resto parcial: 20x+13 
<R+>
3 Dividimos o termo de maior grau do resto parcial `(20x`) pelo termo de maior grau do divisor `(4x`). O resultado  um termo que acrescentamos ao quociente: 
<R->
 20x4x=5 
<R+>
4 Multiplicamos esse termo `(5`) pelo divisor e subtramos o resultado do resto anterior: 
<R->
 resto: 8 
<p>
  O resto obtido tem grau menor que o do divisor. Ento, a diviso est terminada. Resposta: quociente Q=3x+5; resto R=8. 
  A diviso est terminada quando encontramos um resto igual a zero `(R=0`) ou um resto que  um polinmio de grau menor do que o grau do divisor. 
  Vamos dividir A=2x3+9x2+
 +1 por B=2x2+x. 
  Como est faltando o termo em *x* no polinmio A, indicamos esse termo por 0x. 
  Temos: 
 `(2x32x2=x`) 
 `(8x22x2=4`) 
  Resposta: quociente Q=x+4; resto R=-4x+1. 
  Assim, lembrando que A={b{q+R, podemos escrever: 
 2x3+9x2+1=
  =`(2x2+x`)`(x+4`)+`(-4x+1`) 
<180>
  Vamos dividir A=x4-2x3-
 -14x2-5x por B=x2+3x+1. 
 `(x4x2=x2`) 
 `(-5x3x2=-5x`)
<p>
  Resposta: quociente Q=x2-
 -5x; resto R=0 (a diviso  exata; o polinmio A  divisvel pelo polinmio B). 
  Nesse caso, temos: 
 x4-2x3-14x2-5x=`(x2+3x+
  +1`)`(x2-5x`) 

Exerccios

<R+>
64. Divida A por B, fornecendo o quociente Q e o resto R, em cada item. 
<R->
 a) A=8x2+6x+5 e B=2x+1 
 b) A=12x3+10x2-1 e B=
  =6x2+2x-2 
 c) A=12x4-x3+7x2+3x+3 
  e B=3x2+2x+1  
 d) A=x5-x4+2x3+2x2+6 
  e B=x2-x  
 e) A=x4-x2+1 e B=x2+1 
 f) A=x3+1 e B=x2-x+1 

<R+>
<F->
65. Dividindo um polinmio A pelo polinmio B=3x2+4x-1, Csar deu como resposta o quo-
<p>
  ciente Q=2x2+3x+1 e o resto R=x2-2x+3. Ser que ele acertou a diviso? 
66. Qual  o polinmio que, dividido por B=3x2+4x-1, d quociente Q=x+1 e resto R=
  =-3x+1?
67. O polinmio 2x4-x3-2x-
  -1  divisvel por x3-1? Por qu? 

68. Quantos e quais dos polinmios a seguir so divisveis por 2x+1?  
<R->
a) 4x2-1 
b) 2x2+5x+1 
c) 4x2+4x+1 
<F+>
<181>

Desafio 

Boiada lucrativa 

  Um fazendeiro comprou 1.000 bois por R$1.400,00 cada um. Vendeu 400 bois com lucro de 
25%. A que preo dever vender 
<p>
cada um dos 600 bois restantes de modo que, no final, seu lucro total seja de 40%? 

Matemtica em notcia

Ambiente

Ruas mais arborizadas

  Organizao Mundial de Sade (OMS) recomenda 12 m2 de rea verde por habitante.

Cuidados

<R+>
 Evite pintar as rvores ou colocar luzes e enfeites, como os de Natal;
 Molhe-as nos perodos de estiagem, sempre no fim da tarde, para melhor absoro;
 Chame a Prefeitura quando os galhos estiverem perto de fios eltricos.
<R->
<p>
O plantio correto

  Plantar as rvores mais perto das ruas para criar uma passagem 
de pedestres entre elas e os muros.
  As caladas devem ter pelo menos 2,4 m de largura.
  As covas devem ter 0,6 m e as mudas devem estar no centro de um quadrado de 0,6 m de lado.
  Os tutores devem ter 2,3 m, sendo que 0,6 m deles devem estar enterrados.
  Deve haver uma distncia mnima de 5 m entre as rvores.

<R+>
(*O Estado de S. Paulo*, 22/9/2008.) 
<R->
<R+>
<F->

  Leia as informaes publicadas pelo jornal e responda: 
a) Para plantar uma rvore numa cova como a recomendada na matria, qual o volume de terra que tiramos para preparar a cova? 
<p>
b) Construindo calada de 2,4 m de largura, qual a rea de calada num quarteiro de 100 m? Respeitando a distncia de 5 m entre duas rvores e de 5 m da esquina, quantas rvores podem ser plantadas nesse quarteiro sem plantar nas esquinas? 
c) Segundo a OMS, uma cidade de 100.000 habitantes precisa ter quantos quilmetros quadrados de rea verde? 
<182>

Teste seu conhecimento

1. Para x=-2 e y=-1, o valor de ?x3-x2*~?y2-y* :
a) inexistente 
b) 6 
c) 0 
d) -6 

2. Em qual das alternativas o valor numrico de 
  ?a4-5a2+4*~a2-1  0? 
a) a=-1 
b) a=0 
<p>
c) a=1 
d) a=2 

3. A diferena entre o permetro do tringulo {a{b{c e o do tringulo {p{b{c _`[no representado_`] : 
a) x 
b) r 
c) y 
d) x+r 
<F+>
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
<F->
4. A expresso 2xy-3x-
  -`(2x-3xy`) equivale a: 
a) -xy-5x 
b) -xy-x 
c) 5xy-5x 
d) 5xy-x 

5. Sendo A=-x~2, B=-2x2 e C=x3~4, {a{b-C : 
a) 3~4x3 
b) x3
<p>
c) 5~4x3
d) -5~4x3
  
  Observe a figura a seguir para responder aos testes 6 e 7. 
<F+>
<R->

<F->
!::::::::::
l          _ 
l          _ x+3
l          _ 
h::::::::::j
  2x+5
<F+>

<R+>
<F->
6. O permetro do retngulo : 
a) 6x+16 
b) 6x+8 
c) 3x+8 
d) 3x+16 

7. A rea do retngulo : 
a) 2x2+15 
b) 2x2+8x+15 
c) 2x2+11x+15 
d) 2x2+13x+15 

  Observe a figura _`[no representada_`] para responder aos testes 8 a 12. 
<p>
_`[{para os testes 8 a 12, pea orientao ao professor_`]

8. O permetro do retngulo {b{d{f{h : 
a) 8x+4 
b) 12x+4 
c) 12x+8 
d) 16x+4 

9. A rea do tringulo {a{b{c : 
a) x2+1~2x 
b) x2+x 
c) 2x2+x
d) x2+1 

10. A rea total pintada de lils : 
a) 4x2+4 
b) 4x2+4x 
c) 4x2+2x 
d) 8x2+4x 

11. A rea do retngulo {b{d{f{h : 
a) 8x2+2x
b) 8x2+4
<p>
c) 4x2+4x 
d) 8x2+4x 

12. A rea do losango {a{c{e{g : 
a) 4x2+4  
b) 4x2+2x 
c) 4x2+4x
d) 8x2+4x 

13. Que frao algbrica a seguir apresenta numerador divisvel pelo denominador?
a) ?x2+2x+1*~x 
b) ?x2+2x*~x
c) x2~?x+1*
d) ?x2+x+1*~?x+1*

14. Qual  o polinmio que, dividido por x2+2, d quociente x+2 e resto x-2? 
a) x3+x2+3x+2 
b) x3+2x2+2x+2 
c) x3+2x2+3x+2 
d) x3+2x2+3x 
<p>
15. Ao dividir x3+1 por x2+1, encontramos resto: 
a) 0 
b) x 
c) x+1 
d) -x+1 
<F+>
<R->
<183>

Matemtica no tempo

A lgebra literal 

  Escritos egpcios e babilnicos de cerca de 4000 anos atrs, ainda preservados, revelam que esses povos j lidavam com problemas de natureza algbrica. S que, ao contrrio de hoje, tais problemas eram resolvidos verbalmente, por meio de "receitas" que os "matemticos" da poca sabiam ser vlidas em situaes anlogas, mas que no eram formuladas genericamente. Nesse estilo verbal (ou retrico), os egpcios costumavam cha-
mar a incgnita de *aha* ("quantidade"), o que talvez indique a origem aritmtica da sua 
lgebra;
<p>
os babilnios, por sua vez, chamavam a incgnita de "largura" ou "altura", aludindo, possivelmente, s origens geomtricas de sua lgebra. 
  O primeiro matemtico a introduzir uma simbologia algbrica razovel foi o grego Diofanto de Alexandria, que viveu possivelmente no sculo II ou III. Sua obra *Arithmetica* -- cujo ttulo deriva da palavra grega 
 *arithmetike* (de arithms, que significa "nmero") --  composta de uma coleo de 189 problemas variados -- resolvidos no universo dos nmeros racionais positivos. 
  A maioria dos problemas so indeterminados, ou seja, tm mais de uma soluo. No entanto, 
 Diofanto se limitou a encontrar somente uma nica soluo para eles, como neste caso: "Dividir um dado quadrado numa soma de dois quadrados". Particularizando, 
ele tomou como quadrado a ser dividido 
<p>
o nmero 16 e, engenhosamente, encontrou a soluo: 
 `(16~5`)2=256~25 e 
  `(12~5`)2=144~25. Ou se-
  ja: 16=`(16~5`)2+
  +`(12~5`)2
  Diofanto criou smbolos (em geral, abreviaturas) para indicar a incgnita e suas potncias, at a que corresponderia  potncia de expoente 6 em nossa linguagem. Por seu pioneirismo na simbologia algbrica, Diofanto  considerado, por alguns estudiosos, o "pai" da lgebra. Porm, seu simbolismo -- que se situava num plano intermedirio entre o estilo verbal dos egpcios e babilnios e o estilo simblico atual -- era uma notao limitada e no vingou. 
  O estilo simblico atual s comeou a se formar cerca de 1.500 anos depois da morte de Diofanto, graas ao advogado francs 
 Franois Vite `(1540-1630`),
 cujo *hobby* era a Matemtica. Vale registrar que, na poca de Vite, no havia cursos universitrios para a formao de mate-
mticos. Mas sua grande capacidade pode ser constatada por um episdio ocorrido quando ele era conselheiro do rei francs Henrique IV, e Frana e Espanha estavam em guerra. Os espanhis usavam um cdigo secreto formado por mais de 500 caracteres, constantemente renovados, que julgavam indecifrvel. Vite conseguiu decifrar tal cdigo, propiciando vantagem aos franceses na guerra durante dois anos. O rei da Espanha, Felipe II, chegou a se queixar ao papa, acusando a Frana de usar magia negra contra seu pas... 
<184>
  Vite deu contribuies importantes a vrios campos da Matemtica, e aquele em que mais inovou foi a lgebra. Em sua poca, a lgebra, apesar de ter avanado muito depois de Diofanto, ainda no dispunha de uma linguagem que lhe permitisse explorar todo o seu potencial. Coisas corriqueiras, 
<p>
como exprimir genericamente um trinmio do 2 grau, dependiam de 
algo que hoje nos parece natural, mas que inexistia at ento: uma notao que permitisse distinguir sistematicamente incgnitas de constantes (positivas ou negativas). Vite foi o primeiro matemtico a imaginar uma boa notao com essa finalidade, convencionando representar por vogais maisculas as quantidades incgnitas e por consoantes maisculas as quantidades constantes. Com isso, introduziu a linguagem das frmulas na Matemtica -- e, de um modo geral, na cincia. Por exemplo, se usasse a notao de produto hoje adotada, a expresso ax+by+c (em notao moderna) seria representada, por Vite, por {b{a+{c{e+D, em que A e E indicam as variveis, e B, C e D, as constantes. 
  A notao atual de representar variveis pelas letras *x*, *y*, *z*, ... e constantes por *a*, 
<p>
*b*, *c*, ... s foi introduzida na primeira metade do sculo 
XVIII pelo tambm advogado francs Ren Descartes `(1596-
 -1650`). A ele se deve, ainda, a notao exponencial atualmente usada (34, x3, por exemplo).  curioso observar que nem Vite nem Descartes usavam o atual smbolo de igualdade `(=`), embora este j tivesse sido introduzido pelo matemtico gals Robert Recorde, em 1557. 
  Alm de terem contribudo muito para o desenvolvimento da Matemtica, Vite e Descartes mostraram ainda o quanto uma boa notao  importante para que isso ocorra. 

Explorando a leitura 

<R+>
1. Quase nada se sabe sobre a vida de Diofanto, salvo que viveu em Alexandria, talvez por volta do ano 250. Mas o problema que segue, na forma de epigrama, provavelmente fornece o nmero de anos que ele viveu: 
<p>
  "A infncia de Diofanto durou #,f de sua vida; a adolescncia, 
  #,ab; e o perodo posterior, at ele se casar, #,g. Seu filho nasceu cinco anos depois que ele se casou e viveu metade do tempo de vida do pai. Quatro anos depois da morte do filho, Diofanto tambm morreu." 
  Quantos anos viveu Diofanto? 
<R+>
<F->
2. O nmero 16 pode ser escrito como soma de dois inteiros diferentes de 0, ambos quadrados perfeitos? Por qu? 
3. Escreva, em notao moderna, um trinmio do 2 grau genrico. 
4. Alm da Matemtica, em que outras reas Descartes se destacou? Pesquise. 
5. Graduado pela Universidade de Oxford em 1531, algum tempo depois Robert Recorde `(1510-
  -1558`) habilitou-se para a medicina. Foi mdico do rei 
  Eduardo VI e da rainha 
  Maria. Seu nome hoje talvez 
<p>
  estaria esquecido, no tivesse 
  escrito algumas obras matemticas de muito sucesso (numa das quais introduziu o smbolo de igualdade). Essas obras foram escritas em ingls e na forma de dilogos entre um professor e um aluno. Na poca, a maior parte dos textos cientficos eram escritos em latim. Pode-se dizer que a forma e a lngua em que foram escritos os seus livros, contriburam para seu sucesso e a disseminao da Matemtica. Por qu? 
<F+>
<R->

               oooooooooooo
<185>
<p>
Unidade 6 -- Produtos notveis 
  e fatorao 

<186>
Captulo 16- Produtos notveis 

Somando reas 

  Na figura a seguir h dois quadrados vermelhos e dois retngulos verdes.  

<R+>
_`[{figura a seguir_`]
 Legenda:
 rea verde: vd;
 rea vermelha: vm.
<R->
<F->

        a        b
     pccccccccclcccc
   b l   vd    l vm _ b
     l---------l----_
     l         l    _ 
     l         l    _ 
   a l   vm    l vd _ a
     l         l    _
     l         l    _
     v---------l----#             
        a        b
<F+>    
<p>
<R+>
<F->
 Qual  a rea de cada quadrado? 
 Qual  a rea de cada retngulo? 
<F+>
<R->
  Os quadrados e os retngulos so partes de um quadrado maior. 
<R+>
 Quanto medem os lados desse quadrado? 
 Qual  a rea desse quadrado? 
<R->
  A rea do quadrado maior  igual  soma das reas dos quadrados vermelhos e dos retngulos. Assim, chegamos  seguinte concluso: 
 `(a+b`)2=a2+b2+2ab 

Quadrado da soma de dois termos 
 
  A expresso algbrica `(a+b`)2 apresenta uma soma de dois termos, a+b, elevada ao quadrado; , portanto, o quadrado da soma de dois termos. Tambm podemos calcul-la algebricamente, multiplicando a+b por a+b: 
 `(a+b`)2=`(a+b`)`(a+b`)=a.a+a.b+b.a+
  +b.b=a2+ab+ba+b2 
<p>
  Como ab=ba, vem: 
`(a+b`)2=a2+2ab+b2 
  O resultado  um produto notvel. Podemos form-lo sem ficar multiplicando termo a termo. Veja: 
 `(a+b`)2=a2+2ab+b2
  1 termo + 2 termo = quadrado do 1 termo + duas vezes o produto dos termos + o quadrado do 2 termo.
<187>
  Podemos explicar esse produto notvel em palavras: 

  O quadrado da soma de dois termos  igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo. 

  Observe os exemplos: 
<F->
`(x+3)2=x2+2.x.3+32=x2+
  +6x+9 
`(2x+1`)2=`(2x`)2+2.2x.1+
  +12=4x2+4x+1 
`(5x+3y`)2=`(5x`)2+2.5x.3y+
  +`(3y`)2=25x2+30xy+9y2 
<p>
`(x4+2`)2=`(x4`)2+2.x4.
  .2+22=x8+4x4+4 
`(3a+3`)2=`(3~a`)2+2.#c~a.
  .3+`(3`)2=9a2+
  +63a+3
<F+>

Exerccios 

<R+>
<F->
1. Calcule os produtos notveis. 
a) `(x+1)2   
b) `(x+6)2 
c) `(a+10)2
d) `(y+4)2
e) `(x+2)2   
f) `(3x+1)2  
g) `(2a+5)2 
h) `(a+2b`)2
i) `(5a+3b`)2
j) `(x2+4)2 
k) `(a2+1)2  
l) `(2a+10)2 

2. Para explicar geometricamente por que `(x+y`)2=x2+2xy+y2 a partir da figura a seguir,  
<p>
  preciso juntar a ela dois retngulos. Copie e complete a figura em seu caderno e explique. 

_`[{quadrado dividido em dois quadradinhos e dois retngulos_`]
Legenda:
rea alaranjada: al;
rea branca: br.
<F+>
<R->

<F->
         x        y
     pccccccccccclcccc
     l           l    _ 
     l           l    _
   x l   al      l br _ x
     l           l    _ 
     l           l    _ 
     l           l    _
     l-----------l----_
   y lal l     br     _ y
     v---l------------#             
       y       x

<R+>
3. Podemos empregar o produto notvel tambm para fazer clcu-
<p>
  los numricos. Observe o exemplo: 
<R->
512=`(50+1`)2=502+2.
  .50.1+12=2.500+100+1= 
  =2.601 
<R+>
a) Repita o clculo mentalmente. 
b) Calcule os quadrados a seguir empregando produto notvel (de preferncia, mentalmente): 
<R->
212; 612; 322; 952.
<188>

<R+>
<F->
4. Observe o clculo mental de cada um: 

_`[{quatro crianas, uma ao lado da outra. Cada uma pensa:_`]
Ademir: "312=(30+1)2=
  =961";
Camila: "412=(40+1)2=
  =1.681";
Bruno: "422=(40+2)2=
  =1.684";
Diana: "522=(50+2)2=
  =2.704".

  Quem errou? Quanto devia dar? 
<p>
<R+>
5. Desenvolva os produtos notveis de cada carto. 
Carto A:
a) `(x+2)2 
b) (2a+9)2 
c) `(3x+2y`)2 
d) (2xy+4)2 
e) `(x3+1`)2 
f) `(x2+x`)2
g) `(x~3+1~4`)2 
h) `(x~2+y~4`)2
i) `(x+3`)2
Carto B:
a) `(a+5`)2 
b) `(5+y`)2 
c) `(n+2`)2 
d) `(ab+1~2`)2 
e) `(x2+1`)2
f) `(a2+b2`)2
g) `(x~2+1~4`)2
h) `(3x~4+1`)2 
i) `(a2+b~2`)2 
<F+>
<p>
<R+>
6. Calcule as reas coloridas. 
<R->

_`[{figura no representada_`]

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg

7. Vamos fazer os clculos. 
a) `(x+1)2+`(x+2)2-
  -`(2x+1)2
b) `(a2+b2)2-2`(ab`)2 
c) `(x+1`)`(x+2`)-2`(x+2`)2+
  +`(x+2`)`(x+3)
d) `(2x2+x`)2
e) `(x2~2+y2~2`)2

8. Observe o exemplo: 
`(?x+1*~?x+2*`)2=
  =`(x+1`)2~`(x+2`)2=
  =?x2+2x+1*~?x2+4x+4*
  Agora calcule. 
a) `(?2x+1*~?x+2*`)2
b) `(a~?2a+1*`)2
c) `(?x2+1*~x`)2
<189>
<F+>
<p>
<F->
9. Responda: certo ou errado? 
a) `(x+a`)2=x2+a2 
b) `(x+a`)2=x2+a2+2ax 
c) p2+q2=`(p+q`)2 
d) `(x2+y2`)2=x4+y4 
e) `(x2+y2`)2=x4+2xy+y4  
f) `(x2+y2`)2=x4+
  +2x2y2+y4  
<F+>

Quadrado da diferena de 
  dois termos 

  O quadrado da diferena entre dois termos *a* e *b*  indicado por `(a-b`)2. Temos: 
`(a-b`)2=`(a-b`)`(a-b`)=a2-ab-ba+
  +b2
  Como -ab=-ba, vem: 
`(a-b`)2=a2-2ab+b2 
  Esse resultado tambm  um produto notvel: 

  O quadrado da diferena entre dois termos  igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o produ
to do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo. 
<p>
  Veja os exemplos: 
<F->
`(x-3`)2=x2-2.x.3+32=x2-
  -6x+9 
`(2x-1`)2=`(2x`)2-2.2x.1+
  +12=4x2-4x+1 
`(5x-3y`)2=`(5x`)2-2.5x.3y+
  +`(3y`)2=25x2-30xy+9y2 
`(x4-2`)2=`(x4`)2-2.x4.2+
  +22=x8-4x4+4 
182=`(20-2)2=400-2.20.2+
  +4=324 
<F+>

Exerccios 

<R+>
<F->
10. Com base na figura a seguir, utilize seus conhecimentos de geometria para explicar por que `(a-b`)2=a2-2ab+b2. 

_`[{figura composta por quadrados e retngulos_`]
Legenda:
rea azul: az;
rea verde: vd;
rea vermelha: vm.
<F+>
<R->
<p>
<F->
           a
     pcccccpcccc
     l     l    _ 
     l     l    _
   a l vm  l az _
     l     l    _ 
     l     l    _   b
     l     pcccccccc
     l     l vd _ vd _ b
     v-----v----#----#             
        b       a  
<F+>

<R+>
<F->
11. Desenvolva. 
a) `(x-a`)2 
b) `(x-10`)2 
c) `(3x-1`)2
d) `(5a-3b`)2 
e) `(a2-4`)2 
f) `(x2-1`)2
g) `(-2p+1`)2 
h) `(-3x-1`)2 
<190>

12. Desenvolva. 
a) `(x-1)2 
b) `(a-2`)2
c) `(4x-1`)2 
<p>
d) `(2a-5b`)2
e) `(n-6`)2 
f) `(2n-1`)2 
g) `(3a-2b`)2 
h) `(2ab-c`)2 

13. Calcule. 
a) `(3ab-1`)2 
b) `(x2-y2`)2
c) `(x-1~2`)2
d) `(x~4-2`)2
e) `(a~2-b~8`)2
 
14. Calcule, usando produtos notveis (de preferncia, mentalmente). 
a) 192 
b) 492
c) 482 
d) 982 
e) 292
f) 392 
g) 382 
h) 992 

15. Calcule as expresses. 
a) `(a+b`)2-`(a-b`)2
b) `(x+1)2+`(x-1`)2 
<p>
c) `(x+1)2-`(x-1`)2 
d) `(2x-1`)2-`(x-2`)2+
  +3`(1-x`)2  
e) `(-3a-4b`)2-`(3a-4b`)2 

16. Calcule as expresses. 
a) `(-x+2`)2+`(-x-2`)2 
b) `(2x-1`)2+`(-2x-1`)2 
c) 2x`(x-1`)2-2x2`(x-1`)  
d) `(x+2`).`(x-1`)2  
e) `(x-2`)2.`(x+4`)2  
f) `(?x+1*~?x-1*`)2
<F+>
<R->

O produto dos vizinhos 

  Observe os nmeros inteiros marcados na reta: 

<R+>
_`[{reta desenhada num quadro verde. Da esquerda para a direita aparece a seguinte sequncia: -2, -1, 0, 1, 2, 3, 
  4, ..., n-1, n, n+1. Ao lado 
  do quadro uma professora fala para a turma: "Qual  o produto 
<p>
  do sucessor pelo antecessor de um inteiro *n*? Vamos multiplicar `(n+1`) por `(n-1`)."_`]
<R->
<191>

  Vamos multiplicar `(n+1`) por `(n-1`): 
 `(n+1`)`(n-1`)=n2-n+n-1=n2-1 
  O resultado, n2-1,  o antecessor de n2. Ento, o produto dos "vizinhos" de *n*  o "vizinho de trs" de n2. 
  Veja os exemplos: 
 Os "vizinhos" de 10 so 9 
  e 11. Temos: 911=102-
  -1=99 
 Os "vizinhos" de 20 so 19 
  e 21. Temos: 1921=202-
  -1=399 
  Agora responda voc: Quais so os "vizinhos" de 30? Quanto  o produto deles?  

<R+>
Produto da soma pela diferena de dois termos 
<R->

  Calculemos o produto da soma a+b pela diferena a-b de dois termos *a* e *b*: 
 `(a+b`).`(a-b`)=a2-ab+ba-b2 
  Como -ab+ba=0, vem: 
`(a+b`)`(a-b`)=a2-b2 
  Esse produto notvel pode ser explicado da seguinte forma: 

  O produto da soma pela diferena de dois termos  igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo termo. 

  Observe os exemplos: 
<F->
`(n+1`)`(n-1`)=n2-12=n2-1 
`(x+2`)`(x-2`)=x2-22=x2-4 
`(2a+4`)`(2a-4`)=`(2a`)2-
  -42=4a2-16 
`(x3-3`)`(x3+3`)=`(x3`)2-
  -32=x6-9 
`(5+w`)`(w-5`)=`(w+5`)`(w-5`)=w2-25 
1.9992.001=`(2.000-1`)`(2.000+
  +1`)=2.0002-12=4.000.000-
  -1=3.999.999 
<F+>
<192>
<p>
Exerccios 

<R+>
<F->
17. Responda s questes a seguir. 
a) Na figura a seguir, qual  a rea do retngulo colorido? 

_`[{figura de um retngulo dividido em quadrados e retngulos_`]
Legenda:
rea alaranjada: al;
rea branca: br.
<F+>
<R->

<F->
           a           b
     l<::::::::::>l<::::::>_
    ppcccccccccccclcccccccc
    ll   al       l  al    _ 
    ll            l        _
    ll------------l--------_-
  a ll            l        __ 
    ll            l        __ 
    ll   br       l  br    __ b 
    ll            l        __  
    ll            l        __
    vv------------l--------##             
<F+> 
<p>            
<R+>
<F->
b) Copie a figura do item a) em uma folha avulsa, recorte-a no 
  tracejado e cole a parte menor no retngulo branco, como na figura a seguir. Observe que a rea colorida corresponde  rea do quadrado maior menos a do quadrado menor. Calcule a rea colorida. 

_`[{figura de um quadrado dividido em quadrados e retngulos_`]
Legenda:
rea alaranjada: al;
rea branca: br.
<F+>
<R->
<p>
<F->
               a
     l<:::::::::::::::::>_                  
    ppccccccccccccccccccc
    ll         al        _ 
    ll                   _
    ll-------------------_-
    ll       l           __ 
  a ll       l           __ 
    ll   al  l     br    __ 
    ll       l           __ b
    ll       l           __
    vv-------b-----------##             
             l<:::::::::>_    
                  b

<F+>
<R+>
c) Como a rea colorida  a mesma nas duas figuras, que igualdade voc pode escrever a partir delas? 
<R->

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
18. Calcule os produtos em cada carto. 
<F->
Carto A:
`(x+1`)`(x-1`)
`(a+5`)`(a-5`)
`(3b+7`)`(3b-7`)
`(x2+2`)`(x2-2`)
Carto B:
`(3-ab`)`(3+ab`)
`(xy-3z`)`(xy+3z`)
`(2x~5+3y~2`)`(2x~5-3y~2)
`(x-1~x`)`(x+1~x`)
Carto C:
`(x+6`)`(x-6`)
`(a-14`)`(a+14`)
`(3x-2y`)`(3x+2y`)
`(2ab-3c`)`(2ab+3c`)
Carto D:
`(x2+1`)`(x2-1`)
`(y2-3z`)`(y2+3z`)
`(3x~4+2y~5`)`(3x~4-2y~5`)
`(x2-1~x2`)`(x2+1~x2`)

19. Calcule mentalmente usando produtos notveis. 
a) 41.39
b) 52.48
c) 57.63
d) 91.89 
<p>
e) 92.88 
f) 103.#ig 
g) 210.#aij 
h) 301.#bii  

20. Calcule, usando as regras dos produtos notveis. 
a) `(x+1`)2+`(x-1`)2+
   +2`(x+1`)`(x-1`)
b) `(a-1`)`(a+1`)`(a2+1`)`(a4+
  +1`)+1 
c) `(2x+1`)2+`(2x-1`)2+
  +2`(2x+1`)`(2x-1`) 
d) `(a-1~2`)`(a+1~2`)`(a2+
  +1~4`)+1~16
e) `(x+3`)`(x-3`)-`(x+2`)`(x-2`) 
<F+>
<193>

21. A rea do retngulo a seguir  216. 
<F+>
<R->
<F->

  pcccccccccccccc
  l              _
  l              _  n-3
  l              _
  v--------------#
         n+3
<F+>
<p>
<R+>
a) Calcule *n*.  
 b) Quanto mede o lado maior?  

22. Calcule um nmero par *n*, positivo, sabendo que o produto de seus dois vizinhos mpares  255.  
<R->

Identidades 

  Desenvolvendo `(x+1`)2, obtemos x2+2x+1. Por isso, dizemos que `(x+1`)2 e x2+2x+1 so expresses idnticas. Tambm dizemos que a sentena `(x+1`)2=
 =x2+2x+1  uma identidade. 
  Atribuindo um valor numrico a *x*, qualquer que seja ele, o valor numrico de `(x+1`)2 ser igual ao de x2+2x+1. Por exemplo, compare os resultados em cada caso: 
 x=1: `(x+1`)2=`(1+1)2=
  =22=4; x2+2x+1=12+2.
  .1+1=1+2+1=4 
<p>
 x=-5: `(x+1`)2=`(-5+1`)2=
  =`(-4)2=16; x2+2x+1=
  =`(-5`)2+2.`(-5`)+1=25-
  -10+1=16
 x=2~3: `(x+1`)2=`(2~3+
  +1`)2=`(5~3`)2=25~9; 
  x2+2x+1=`(2~3`)2+2.
  .2~3+1=4~9+4~3+1=
  =?4+12+9*~9=25~9
  Vamos agora calcular e comparar os valores numricos das expresses `(x+y`)2 e x2+y2 para: 
 x=0 e y=10: `(x+y`)2=
  =`(0+10)2=102=100; 
  x2+y2=02+102=
  =0+100=100
 x=1 e y=2: `(x+y`)2=`(1+2)2=
  =32=9; x2+y2=12+
  +22=1+4=5
 x=-3 e y=3: `(x+y`)2=
  =`(-3+3`)2=02=0; 
  x2+y2=`(-3`)2+32=
  =9+9=18
  Pelos exemplos voc pode observar que nem sempre `(x+y`)2 e x2+y2 tm valores numricos iguais. Isso significa que no 
<p>
so expresses idnticas. No  possvel transformar uma expresso na outra realizando operaes algbricas. 

  Duas expresses algbricas so idnticas quando  possvel transformar uma na outra por meio de operaes algbricas. Uma identidade  uma igualdade em que os dois membros so expresses idnticas. 

  Portanto, a sentena `(x+y`)2=
 =x2+y2 no  uma identidade. 
<194>

Exerccios 

<R+>
<F->
23. Indique quais destas sentenas so identidades. Faa o clculo, se achar necessrio. 
a) `(x+4)`(x-4)=x2-4
b) `(x+2)2=x2+4 
c) `(x-2)`(x+2)=x2-4 
d) `(x-1)2=x2-1 
e) `(x-5)`(x+5)=x2-25 
f) `(5+x`)`(x-5)=25-x2 
<p>
g) `(x+1`)2=x2+2x+1 
h) `(3-x`)2=9-6x+x2

24. A expresso x2+20x+100  idntica a outra, que  o quadrado de um binmio. Qual ? 
25. A expresso 4x2-81y2  idntica a outra, que  o produto da soma pela diferena dos mesmos dois termos. Qual  essa expresso?  
26. Explique, usando reas de figuras geomtricas, por que as expresses `(x+y`)2 e x2+y2 no so idnticas. 
<F+>
<R->

Desafio 

Dias chuvosos 

  Depois de alguns dias de frias, uma estudante observa que: 
<R+>
 choveu 7 vezes, de manh ou  tarde; 
 quando chove de manh, no chove  tarde; 
<p>
 houve 5 tardes sem chuva; 
 houve 6 manhs sem chuva. 
<R->
  Quantos dias havia decorrido? 

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Quarta Parte
